\documentclass[spanish,a4paper]{article}

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\usepackage{array}

\author{G. Sebasti\'an Pedersen \\
\small{\texttt{(sebasped@gmail.com)}}
}
\title{Integrales indefinidas de funciones reales por Sustituci\'on y Partes}
\date{\small\textsf{Versi\'on 1: abril de 2011}}

\begin{document}
\maketitle

$$
\begin{array}{ c | c }
f(x) & \int f(x)\,dx \\
\hline
0 & C \\
\hline
\text{nro.} & \text{nro.}x+C\\
\hline
(\text{si}\,r\neq -1) \quad x^r & \dfrac{x^{r+1}}{r+1} +C \\
\hline
x^{-1}=\dfrac{1}{x} & \text{ln}(|x|)+C \\
\hline
\sen (x) & -\cos (x) +C\\
\hline
\cos (x) & \sen (x) +C\\
\hline
\text{e}^x & \text{e}^x +C\\
\hline
\text{a}^x & \dfrac{\text{a}^x}{\text{ln}(\text{a})}+C
\end{array}
$$

\section*{Sustituci\'on}
\paragraph{Ejercicio:} Calcular $$\int \text{e}^{-6x}\,dx$$ Hacemos $u=-6x$, y entonces:
\begin{align*}
du &=u'dx\\
du &=-6dx\\
\dfrac{du}{-6} &=dx
\end{align*}
Luego: $$\int \text{e}^{-6x}\,dx = \int \text{e}^u\,\dfrac{du}{-6} = -\dfrac{1}{6} \int \text{e}^u\,du= -\dfrac{1}{6}\text{e}^u + C = -\dfrac{1}{6}\text{e}^{-6x}+C$$

\emph{Respuesta:} \fbox{$\int \text{e}^{-6x}\,dx = -\dfrac{1}{6}\text{e}^{-6x}+C $}



\paragraph{Ejercicio:} Calcular $$\int \cos (2x)\,dx$$ Hacemos $u=2x$, y entonces:
\begin{align*}
du &=u'dx\\
du &=2dx\\
\dfrac{du}{2} &=dx
\end{align*}
Luego: $$\int \cos (2x)\,dx = \int \cos (u)\,\dfrac{du}{2} = \dfrac{1}{2} \int \cos (u)\,du= \dfrac{1}{2}\sen (u) + C = \dfrac{1}{2}\sen (2x)+C$$

\emph{Respuesta:} \fbox{$\int \cos (2x)\,dx = \dfrac{1}{2}\sen (2x)+C $}


\paragraph{Ejercicio:} Calcular $$\int \dfrac{1}{x+1}\,dx$$ Hacemos $u=x+1$, y entonces:
\begin{align*}
du &=u'dx\\
du &=1dx\\
du &=dx
\end{align*}
Luego: $$\int \dfrac{1}{x+1}\,dx = \int \dfrac{1}{u}\,du = \text{ln}(|u|) + C = \text{ln}(|x+1|)+C$$

\emph{Respuesta:} \fbox{$\int \frac{1}{x+1}\,dx = \text{ln}(|x+1|)+C $}



\paragraph{Ejercicio:} Calcular $$\int \dfrac{1}{x+1}\,dx$$ Hacemos $u=x+1$, y entonces:
\begin{align*}
du &=u'dx\\
du &=1dx\\
du &=dx
\end{align*}
Luego: $$\int \dfrac{1}{x+1}\,dx = \int \dfrac{1}{u}\,du = \text{ln}(|u|) + C = \text{ln}(|x+1|)+C$$

\emph{Respuesta:} \fbox{$\int \frac{1}{x+1}\,dx = \text{ln}(|x+1|)+C $}

\paragraph{Ejercicio:} Calcular $$\int \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx$$ Hacemos $u=x^2+1$, y entonces:
\begin{align*}
du &=u'dx\\
du &=2xdx\\
\dfrac{du}{2x} &=dx
\end{align*}
Luego: $$\int \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx = \int \dfrac{x}{\sqrt{u}}\,\dfrac{du}{2x} = \int \dfrac{1}{\sqrt{u}}\,\dfrac{du}{2} = \dfrac{1}{2} \int u^\frac{1}{2} \, du = \dfrac{1}{2} \dfrac{u^\frac{3}{3}}{\frac{3}{2}} +C$$

\emph{Respuesta:} \fbox{$\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx = \frac{1}{2} \frac{u^\frac{3}{3}}{\frac{3}{2}} +C$}

\section*{Partes}
$$ \int u.v' = u.v - \int u'.v $$


\paragraph{Ejercicio:} Calcular $$\int x\text{ln}x\,dx$$ Hacemos $u=\text{ln}x$ y $v'=x$. Luego tenemos que $u'=\frac{1}{x}$ y $v=\frac{x^2}{2}$. Entonces:
$$\int \underbrace{x}_{v'} \overbrace{\text{ln}x}^u\,dx = \dfrac{x^2}{2}\text{ln}x-\int \dfrac{1}{x}\dfrac{x^2}{2}\,dx = \dfrac{x^2}{2}\text{ln}x-\dfrac{1}{2}\int x\,dx= \dfrac{x^2}{2}\text{ln}x-\dfrac{1}{2}\dfrac{x^2}{2}+C$$

\emph{Respuesta:} \fbox{$\int x\text{ln}x\,dx= \frac{x^2}{2}\text{ln}x-\frac{1}{2}\frac{x^2}{2}+C$}

\paragraph{Ejercicio:} Calcular $$\int x\cos(x)\,dx$$ Hacemos $u=x$ y $v'=\cos(x)$. Luego tenemos que $u'=1$ y $v=\sen(x)$. Entonces:
$$\int \underbrace{x}_{u} \overbrace{\cos(x)}^{v'}\,dx = x\sen(x)-\int 1\sen(x)\,dx = x\sen(x)-\int \sen(x)\,dx= $$ $$= x\sen(x) -(-\cos(x)) + C = x\sen(x)+\cos(x)+C$$

\emph{Respuesta:} \fbox{$\int x\cos(x)\,dx= x\sen(x)+\cos(x)+C$}





\end{document}

